一、子午線輪胎活絡模具型腔的設計難點
由于子午線輪胎具有能夠承受較大內應力、胎面不易變形、良好的地面抓力和穩定性好等優點，因而在汽車中應用廣泛。但是，子午線輪胎活絡模設計與制造較難，主要體現在模具的工作型面精度不易控制、開模與合模機構的協調及分型面加工要求較高等方面[1-3]。其中，子午線輪胎活絡模具型腔曲面構造方法對模具的工作型面有較大的影響[4]。國內外學者研究了多種構造方法，其中以蒙皮面[5]、乘積型曲面[6]和NURBS曲面[7]為主，這些方法可以在已知型值點的情況下構造出比較光順的曲面，且可以方、便地控制構造精度。但仍存在不足，如曲面構造中可能會出現不確定性扭矢、曲面光滑拼接時邊界條件過多或過約束[7]等。
本文以某轎車子午線輪胎花紋為例，針對曲面光滑拼接的要求，應用B樣條曲面（B-Spline Class，BSC）算法構造出子午線輪胎活絡模具型腔曲面，并分析了其應用效果。
二、由輪胎圖提取花紋塊外輪廓
活絡模的生產步驟為：首先根據輪胎花紋展開圖設計制造輪胎花紋塊模具；然后精密鑄造花紋塊，經打磨和拋光后將花紋塊裝配在輪胎模外圈上后車削分模面，最后檢驗并試模。根據輪胎花紋輪廓展開圖設計花紋塊模具步驟為：由輪胎圖提取出花紋塊的輪廓，并作等比放大（花紋塊材料通常選用鑄鋼，其收縮率約為2.5%）；根據工藝要求設計模具型腔；適當調整型腔尺寸，使之符合加工要求。
圖1為11R22.5LM516型輪胎花紋展開圖，為表示清楚，圖中僅標注了一個尺寸。由輪胎花紋展開圖提取出花紋塊的輪廓時，需要根據展開圖中花紋溝槽的尺寸及結構確定花紋塊的頂部、側壁和底部尺寸。
對于花紋塊頂部，提取出如圖2所示的外輪廓。提取的依據是花紋的磨削余量、花紋塊的構成以及結構剛度，考慮到鑄件的收縮率，將圖1中的尺寸18mm改為18.45mm。
對于花紋塊側壁和底部，通常在花紋展開圖設計時給定了一些關鍵部位的剖面圖，考慮到修磨和拋光等后續工序，花紋塊側壁及底部應在花紋溝槽的基礎上卜作適當放大。通常將內腔側壁和底部沿法向分別偏移一定距離，并調整底部圓角半徑。得到花紋塊的外形尺寸后即可設計出花紋塊精密鑄造成型模具，其模具工作型面和設計的花紋塊外形一致。
三、由花紋溝槽展開輪廓變換為活絡模花紋塊輪廓
由上述可知，用于模具制造的花紋塊輪廓和輪胎上花紋溝槽的輪廓，在外形上既相似，又有所不同。在設計花紋塊及花紋塊模具時，需要研究兩者輪廓之間的變換關系。圖3為由花紋溝槽展開輪廓變換為活絡模花紋塊輪廓的過程。圖中的坐標系oxyz以輪胎的軸向為y軸，以輪胎中分面上相互垂直的2個徑向為x、z軸。坐標系o′x′y′z′位于胎頂，輪胎花紋的展開輪廓G1位于o′x′y′平面上。將展開輪廓分別繞坐標系o′x′y′z′的x′軸（即沿輪胎的周向）和坐標系。oxyz的x軸等長卷彎到輪胎頂面上，從而形成所示的空間曲線輪廓C2。
設胎頂半徑為R1，行駛面斷面的半徑為R2，則在oxyz坐標系中平面輪廓上任一點可記為P（x1，y1，R1）。圖4為等長卷彎過程中P點的變化情況。圖4a為沿z軸負方向觀察時的平面圖，P在xoz平面上的投影為Po（x1，O，Rl)。圖4b為P點繞y′軸旋轉時的坐標變化情況，此時花紋展開輪廓的曲線長保持不變，它在胎頂回轉面上的長度等于oPo，故θ0的弧度為x1/R1，從而Po′點的坐標為：
式中，zo為Po′的坐標，其值也等于Po′處周向半徑R3。
圖4c為點Po′繞x軸彎曲到點P′時的坐標變換情況，此時輪胎周向弧長保持不變刀，θ1的弧度值為y1/R3，故P′的坐標為：
為了便于計算，司以根據加工精度要求將展開輪廓離散為若干個數據點，并根據式（1）和式（2）進行卷彎。離散點集必須包含輪廓上的關鍵點，如胎頂、胎肩和一階、二階導數不連續的點，以確保擬合花紋空間輪廓曲線時形狀不失真。
經過花紋溝槽展開輪廓變換為活絡模花紋塊輪廓，可得到活絡模花紋塊輪廓離散化點集，這些點集與花紋塊精密鑄造模具型腔輪廓離散點集一致。這些離散的輪廓點集不可以用來表示型腔曲面，應構造得到模具型腔曲面。型腔曲面包括頂面、側壁和底面。由于頂面和底面均為環面的一部分，故這里僅討論側壁面的構造。
四、活絡模花紋塊精鑄模具側壁曲面片構造
常見曲面片構造方法有三維CAD系統建模和計算機輔助幾何設計技術構造[8]。三維CAD系統可以解決多數實際問題，但曲面的光順性評估指標以及誤差傳播等間題還未解決。運用CAGD技術構造空間自由曲面可以克服或減少上述缺點，并可控制曲面構造的精度。為此，采用B樣條曲面算法構造出子午線輪胎活絡模具型腔曲面。該方法的優點是，曲面構造過程中賦予每一控制頂點相應的權值，能夠較靈活地控制曲面的形狀。
二階B樣條曲面（BSC曲面）的表達式為：
根據式（1）和式（2)計算得到的型腔頂部、底部輪廓離散點是不均勻的，應首先根據離散關鍵點為界，擬合出若干條光滑曲線，然后把它們拼接為一條組合曲線。擬合時可采用多項式、樣條曲線等方法。設由式（1）和式（2)構造得u線和v線構成的控制多邊形網格為Aij，則可由式（3)獲得型腔曲面。
具體地，可以通過下面的方法求出該曲面上的任何一點的坐標值。如圖5，在坐標系oxyz中，設Aij＝[xij，yij，zij]，s、t分別為沿曲面u向和v向的參數，且s、t∈[0，1]則曲面上任一點的坐標值為：
根據上述構造過程可以得到曲面側壁曲面片的方程。通過改變權函數uij以及曲面的階數，可以控制曲面的構造精度。但是，由于花紋塊模具型腔是多個曲面片的拼接，因此應考察曲面片之間的光滑拼接算法。
五、曲面片間的光滑拼接
兩面拼接的目的是構造一張曲面，使其連接給定曲面指定的邊界，并在連接處保持光滑[6]。設兩個m×n次曲面片為：
兩曲面光滑拼接時，與它們公共邊界相對的兩條邊界應分別在公共邊界的兩側，從而使公共邊界不形成尖棱。另一方面，光滑拼接時還要使P（u，v）的次數不變。用公式表達為：
這些一階差分分別表示控制網格上相應的邊矢量。式（8）表明，當相交于定義公共邊界的每一控制網格邊矢量滿足一定的關系時，兩曲面沿公共邊界才能達到C1連續。
通過上述算法可以求得連接給定兩張曲面指定邊界的拼接曲面，并保證在連接處保持C1連續。
